Kvádr

Objem kvádru

Povrch kvádru

Tělesová úhlopříčka kvádru

Stěnová úhlopříčka kvádru

Bod

Bod
 Je nejzákladnější geometrický pojem, jedná se o bezrozměrný geometrický útvar, pomocí něhož typicky definujeme ostatní geometrické útvary. Pokud se pohybujeme v rovině, tak můžeme říci, že bod je dvojice čísel, která reprezentuje souřadnice daného bodu v rovině. Pro prostor potřebujeme tři souřadnice, takže by se jednalo o trojici. Bod obvykle zapisujeme do hranatých závorek takto: [1, 4] a pojmenováváme ho jedním velkým písmenem, například bod B. Bod obvykle označujeme křížkem nebo vybarveným kolečkem.

Vektorový součin

Vektorový součin vektorů u, v se značí: u × v.

a × b = (a2b3-a3b2; a3b1-a1b3; a1b2-a2b1)

Jsou dány vektory a=(1;3;-1), b=(2;4;5). Určete jejich vektorový součin.

Je to vlastně jenom dosazení do vzorce:

a × b = (3*5-(-1)*4;(-1)*2-1*5;1*4-3*2)
a × b = (19;-7;-2)

trojuhelnik

Obvod trojúhelníku
Obsah trojúhelníku

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku


Sinová věta

Kosinová věta





                         

Mnohočleny

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
a² – b² = (a + b) * (a – b)
a³ – b³ = (a – b) * (a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b) * (a² – ab + b²)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník

Každý řádek začíná a končí číslem 1
Napíšeme-li čísla na řádku od konce, pořadí čísel se nemění
Každé číslo (mimo prvního a posledního) je rovno součtu čísel nad ním
Součet čísel na řádku je roven n-té mocnině čísla 2
Binomická věta – (a + b)ⁿ = (ⁿ₀)aⁿ + (ⁿ₁)a^n-1b + (ⁿ₂)a^n-2b² + ... + (ⁿ_k-1)a^n-k+1b^k-1 + ... + (ⁿ_n)bⁿ

Planimetrie

Bod – základní geometrický útvar
Přímka – dvěma různými body prochází jediná přímka
Polopřímka – bod rozděluje přímku na dvě opačné polopřímky
Úsečka – úsečku tvoří všechny body přímky, které leží mezi dvěma krajními body
Velikost úsečky je vzdálenost dvou krajních bodů
Střed úsečky je bod, který dělí úsečku na dvě shodné úsečky
Dvě polopřímky dělí rovinu na dva úhly
Úhel – nulový (0°), ostrý (kosý), pravý (90°), tupý, přímý (180°)
Shodné úhly se po přenesení na sebe kryjí
Osa úhlu – polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, dělí úhel na dva shodné úhly
Velikost úhlu – 1° (stupeň) = 60‘ (minuty) = 3600‘‘ (sekundy)
Konvexní útvar – pro každé dva body v útvaru platí, že jejich úsečka je podmnožinou útvaru


Zdroj tohoto a dalších podobných zápisů je www.sesity.net

Konstrukce

Polohové trojúhelníky – úkol začíná umístěním jednoho prvku, počet řešení je dán počtem útvarů, které splňují podmínky úlohy
Nepolohové trojúhelníky – poloha daných prvků je volitelná
Čtyřúhelníky
Kružnice

Vennův digram - množiny číselných oborů

• N - přirozená čísla: 1, 2, 3, 100, 105, 1006...
  • můžeme je spočítat "na prstech ruky"
• Z - celá čísla: -10, -1, 0, 1, 2, 3...
  • zahrnují i záporná celá čísla
• Q - racionální čísla: -10; -1; 0; 1/3; 5/2; 2,5; 3...
  • číslo, které můžeme zapsat jako zlomek a/b (-1=-2/2; 5/2 = 2,5)
• IQ - iracionální čísla: pí; e; odmocnina ze 2;...
  • každé reálné číslo, které není racionální, tedy nelze zapsat jako zlomek a/b
• R - reálná čísla: -10; -1; 0; 1/3; 5/2; 2,5; pí; e; odmocnina ze 2; 3...
  • racionální a iracionální čísla
• C - komplexní čísla -10; -1; 0; 1/3; 5/2; 2,5; pí; e; odmocnina ze 2; 3; 1+2i; 3-10i; 2i...
  • reálná čísla + čísla s imaginární jednotkou i

Úsečka

• Úsečka je vyznačena dvěma krajními body, které jsou spojeny rovnou čárou. Úsečku označujeme krajními body, takže můžeme mluvit o úsečce AB, pokud má krajní body A a B. U úsečky můžeme měřit délku, což je vzdálenost mezi jejími krajními body. Pokud mluvíme o délce úsečky AB, zapisujeme to pomocí svislítek: |AB|. Na následujícím obrázku jsou celkem tři různé úsečky: AB, CD aEF. Můžeme říci, že délka úsečky AB je rovna třem, neboli |AB|=3.

http://www.matematika.cz/geometrie

Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce

Lineární lomenou funkcí nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = (ax + b)/(cx + d)
Grafem hyperbola

Řez tělesa rovinou

Řez tělesa rovinou

Průnik tělesa rovinou
Sestrojíme průsečnice roviny se stěnami tělesa
Výsledkem je mnohoúhelník
Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině
Protíná-li rovina dvě rovnoběžné roviny, pak je protíná v rovnoběžných přímkách
Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li všechny společný bod, pak tímto bodem procházejí všechny průsečnice

Funkce sinus a kosinus

Funkce sinus a kosinus

Funkcí sinus nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = sin x
Funkcí kosinus nazveme každou funkci, která je dána předpisem y = cos x

Zdroj tohoto a dalších podobných zápisů je  http://sesity.net

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel

Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty – ax² + bx + c = 0
Když je diskriminant větší než 0 – K = {(-b+√D)/2a, (-b-√D)/2a}
Když je diskriminant rovný 0 – K = {-b/2a}
Když je diskriminant menší než 0 – K = {(-b+i√-D)/2a, (-b-i√-D)/2a}
Binomická rovnice x² – a = 0
|x| = ⁿ√|a|, φ = (α + 2kπ)/n, různá řešení k = 0, 1, …, n – 1
Kořeny binomické rovnice leží v Gaussově rovině na kružnici o poloměru ⁿ√|a| a tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku x_k = ⁿ√|a| * (cos((α + 2kπ)/n) + i * sin((α + 2kπ)/n))

Relace-vysvětlení pojmu

Relace je takový matematický protějšek normálního pojmu „vztah“. V normálním životě je třeba Monika ve vztahu s Jitkou, konkrétně je to vztah „matka – dcera“. Další takový vztah může být „stát – hlavní město tohoto státu“. Jako příklad můžeme vzít Egypt – Káhira.

Mocniny - vzorce

Definice mocniny

	Podmínky platnosti:
	,

Poznámka: Písmenem N označujeme množinu přirozených čísel, písmenem R množinu reálných čísel a písmenem Z množinu celých čísel.
Umocňování nulou

	Podmínky platnosti:
	,

Přehazování přes zlomkovou čáru

		Podmínky platnosti:
		,,

Převod odmocniny z mocniny čísla na  číslo v exponenciálního tvaru

	Podmínky platnosti:
	,,

Součin mocnin

	Podmínky platnosti:
	,

Mocnina mocniny

	Podmínky platnosti:
	,

Mocnina součinu

	Podmínky platnosti:
	,

Mocnina podílu

	Podmínky platnosti:

Podíl mocnin

	Podmínky platnosti:

Obecné a partikulární řešení

Řešení systému rovnic, které je zapsáno pomocí parametrů, nazýváme obecné řešení. Konkrétní řešení, tj. pokud za parametry dosadíme konkrétní čísla, nazýváme partikulární řešení.

http://www.matematika.cz/systemy-linearnich-rovnic

Poměr

Poměr

Poměr 2 kladných čísel a,b zapisujeme a : b. Porovnáváme jim 2 množství z nichž 1 je složeno z a dílů a 2 z b dílů při čemž všechny díly jsou stejné.(Velikost těchto dílů ze zápisu a : b nevyčteme.)

Hodnota poměru:

Hodnotou poměru a : b nazveme číslo,které je výsledkem dělení a:b a které lze vyjádřit zlomkem .

Př: 7 : 2 =   = 3,5

Rozšiřování a krácení poměru:

a : b = (a × c) : (b × c)

Př: Rozšiřte poměr číslem 5.

5 : 2 = (5 × 5) : (2 × 5)

Př:Zkrať poměr na základní tvar.

300 : 450 = 30 : 45 = 2 : 3

Rozšiřování poměru v daném celku:

Daný celek rozdělíme na 2 části v poměru a : b daných přirozených čísel a,b rozdělíme jej nejprve na a + b stejných dílů.První část pak sestavíme z a takových dílu a 2 z b takových dílů.

Př: M. a P. si půjčili kolo.Pujčovné bylo 200 kč. M. jezdil 3 h. a P. 2 h. .Kolik zaplatí každý?

a : b = 2 : 3                                            P. 2 díly……………….. 2 × 40 = 80

1díl……….2+3 = 5                                 M. 3 díly………………. 3 × 40 = 120

Petr zaplatí 80 kč a Matěj zaplatí 120 kč.

Základní operace se zlomky

Rozšiřování zlomků

Sčítání a odčítání zlomků

Násobení a dělení zlomků

 

Složené zlomky

Krácení zlomků

Druhá a třetí odmocnina

Druhá odmocnina je takové číslo x, pro které platí že x² = a
Druhou odmocninu děláme z nezáporného čísla
Druhá odmocnina z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo
Pravidla:
√ a * √ b = √ (a * b)
a * √ b = √ (a² * b)
√ a / √ b = √ (a / b), b ≠ 0
Třetí odmocnina z nezáporného reálného čísla a je takové číslo x, pro které platí že x³ = a
Třetí odmocninu děláme i ze záporných čísel
Pravidla:
³√ a * ³√ b = ³√ (a * b)
a * ³√ b = ³√ (a³ * b)
³√ a / ³√ b = ³√ (a / b), b ≠ 0

Absolutní hodnota

Absolutní hodnota čísla a je rovna a pro a ≥ 0
Absolutní hodnota čísla a je rovna – a pro a < 0
Absolutní hodnota udává vzdálenost čísla od počátku číselné osy
Vzdálenost dvou čísel na číselné ose se rovná absolutní hodnotě jejich rozdílu

Koule

Objem koule Povrch koule

Vrchlík, kulová úseč Obsah vrchlíku Objem kulové úseče   Kulový pás, kulová vrstva Objem kulové vrstvy Obsah kulového pásu